Giả sử rằng bạn vẫn biết có mang đường tròn đơn vị với một số tính chất của góc lượng giác và cạnh trong đường tròn đơn vị, bài bác toán này đề xuất thêm triết lý của số lượng giới hạn kẹp nữa.quý khách đang xem: Biết rằng lyên ổn x tiến cho tới 0 của sinx / x =1

Trước hết, chúng ta nên tìm hiểu một chút ít về giới hạn kẹp.

Bạn đang xem: Tìm lim(xsin(1/x)) khi x tiến tới vô cùng

Giả sử ta gồm một trong những $b$ bị kẹp thân nhì số $a$ cùng $c$ nlỗi sau,

$$a leq b leq c$$

Nếu $a$ cùng $c$ thuộc bằng một trong những $ extL$ làm sao đó, chính vì $b$ bị kẹp giữa $a$ và $c$ bắt buộc ta có thể suy ra được $b$ cũng bởi $ extL$, vấn đề đó là hoàn toàn thích hợp tình hợp lí.

Giả sử $b = lim_x o 0 fracsin xx$, ta cần thiết tính thẳng $b$ Khi $x o lớn 0$ được, ta cần tìm thấy nhị số lượng giới hạn $a$ và $c$ để kẹp giới hạn $fracsin xx$ lại, rồi tiếp đến đi tính $a$ và $c$, sẽ là ý tưởng của bài toán này, làm cho chũm như thế nào nhằm search $a$ cùng $c$, ta vẫn đề nghị phụ thuộc vào đặc điểm của những góc lượng giác cùng cạnh trong mặt đường tròn đơn vị chức năng.


*

Thứ nhất mình sẽ đi tìm kiếm mối quan hệ thân chúng trước, nhìn bằng mắt thường vào hình sinh hoạt trên, ta nhận ra rằng đâu đó diện tích tam giác $ extOAC$ dường như nlỗi nhỏ dại rộng diện tích con đường cung $stackrelfrown extOAC$, và ăn diện tích con đường cung $stackrelfrown extOAC$ lại nhỏ tuổi rộng diện tích S tam giác ngoài $ extOBC$, nghĩ về thầm ta có thể vận dụng được định lý kẹp tại phần này, bài toán sót lại là cố gắng gửi nó về công thức góc lượng giác thử coi.

Xem thêm: Điều Kiện Để Sản Phẩm Trở Thành Hàng Hóa, Bài 2: Hàng Hóa

Điện thoại tư vấn $ heta$ (sửa chữa thay thế mang đến $x$) là góc được sản xuất vày bán kính con đường tròn $ extOA$ cùng $ extOC$, ta có:

$$sin heta = frac extđối exthuyền = frac extAD extOA Rightarrow extAD = sin heta cdot extOA$$

Mà vào đường tròn đơn vị, độ lâu năm nửa đường kính luôn bởi $1$, Tức là $ extOA = extOC = 1$, vậy:

$$ extAD = sin heta cdot 1 = sin heta$$

lúc nói $ heta$ tiến cho tới $0$, Tức là $ heta$ có thể tiến tự số dương (vùng I) về $0$, cũng rất có thể tiến trường đoản cú số âm (vùng IV) về $0$, vậy để bảo vệ độ nhiều năm $ extAD$ luôn luôn đúng, ta bắt buộc thêm lốt quý hiếm tuyệt vời nhất,

$$ extAD = |sin heta|$$

Có độ dài đoạn $ extAD$, ta hoàn toàn có thể tính diện tích S tam giác $ extOAC$ bằng,

$$S_ extOAC = frac12 cdot extAD cdot extOC = frac12 cdot |sin heta| cdot 1 = frac2$$

Tiếp theo, ta phải tính diện tích S cung tròn $stackrelfrown extOAC$ (cung gồm đường color vàng), ta hiểu được cả một hình trụ đơn vị chức năng sẽ có được hệ số góc là $2 pi$ radian cùng có diện tích là $1 pi$ radian, vậy 1 phần bé dại của hình tròn (Có nghĩa là cung $stackrelfrown extOAC$) sẽ tiến hành tính bằng cách đem hệ số góc của cung $stackrelfrown extOAC$ phân chia cho cả hệ số góc của hình tròn kế tiếp nhân cùng với diện tích của chính nó đúng không như thế nào.

$$S_stackrelfrown extOAC = frac heta2 pi cdot pi = frac heta2$$

Tương từ cùng với lí vì chưng như trên, ta rất cần được thêm quý hiếm tuyệt vời và hoàn hảo nhất vào $ heta$,

$$S_stackrelfrown extOAC = frac2$$

Tiếp theo, tính diện tích của tam giác $ extOBC$, ta đề xuất tính độ nhiều năm cạnh $BC$ với,

$$chảy heta = frac extđối extkề = frac extBC extOC Rightarrow extBC = ung heta cdot extOC = ung heta cdot 1 = ã heta$$

Suy ra diện tích S tam giác $ extOBC$ bằng:

$$S_ extOBC = frac12 cdot extOC cdot extBC = frac12 cdot 1 cdot ã heta = frac ã heta2$$

Tương trường đoản cú cùng với lí vị nhỏng trên, ta cần phải thêm quý giá hoàn hảo nhất vào $ an heta$,

$$S_ extOBC = frac2$$

Dựa vào hình bên trên, ta có thể chỉ dẫn một bất đẳng thức xác minh rằng diện tích tam giác $ extOAC$ luôn nhỏ tuổi hơn diện tích S mặt đường cung $stackrelfrown extOAC$ cùng luôn luôn nhỏ tuổi hơn diện tích tam giác $ extOBC$, tuyệt,

$$S_ extOAC leq S_stackrelfrown extOAC leq S_ extOBC$$

Thế những tác dụng tính diện tích vào, ta bao gồm,

$$frac2 leq frac2 leq frac an heta2$$

Bây giờ có tác dụng vậy làm sao để biểu thức trọng tâm phát triển thành $fracsin heta heta$ nhằm áp dụng định lý kẹp thì thừa hoàn hảo nhất, đó là điều họ mong muốn. trước hết, nhân từng biểu thức trong bất đẳng thức đến $2$ với mục đích để khử số $2$ đi, ta được,

$$|sin heta| leq | heta| leq | an heta|$$

Knhì triển $| ung heta|$, ta tất cả,

$$|sin heta| leq | heta| leq frac$$

Tiếp tục phân tách mỗi biểu thức vào bất đẳng thức đến $|sin heta|$, ta được,

$$fracsin hetasin heta leq frac hetasin heta leq fracleft( fraccos heta ight)$$

Rút gọn gàng một chút,

$$1 leq frac hetasin heta leq frac1$$

Thực hiện hòn đảo ngược tử số cùng mẫu số của từng biểu thức vào bất đẳng thức, lúc đảo ngược, lốt của bất đẳng thức đang đổi khác,

$$1 geq frac geq |cos heta|$$

Bây giờ đồng hồ xét vết của cực hiếm tuyệt đối hoàn hảo,

Đối cùng với biểu thức $frac$, khi $ heta$ tiến trường đoản cú vùng dương (vùng I) về $0$, kết quả chắc chắn là đã dương, khi $ heta$ tiến trường đoản cú vùng âm (vùng IV) về $0$, hiệu quả đang bằng $frac-sin heta- heta$ chắc chắn rằng cũng sẽ dương.

Đối với biểu thức $|cos heta|$, lúc $ heta$ tiến về $0$ là những quý giá nằm ở trục $Ox$, Tức là đoạn trực tiếp $ extOC$, vì vậy công dụng $cos heta$ luôn luôn luôn dương.

Vậy, ta có thể quăng quật vệt cực hiếm tuyệt đối đi,

$$1 geq fracsin heta heta geq cos heta$$

Lưu ý, biểu thức bên trên chỉ đúng trong miền cực hiếm từ $fracpi2$ mang đến $frac-pi2$, Có nghĩa là vào vùng I với vùng IV của đường tròn đơn vị chức năng, bởi vì $ heta$ tiến tới $0$ vì vậy nó chỉ nằm trong 2 vùng này, họ không bắt buộc xét thêm hai vùng sót lại cơ.

Bây tiếng, đã tới khi thêm giới hạn vào các biểu thức nhỏ trong bất đẳng thức trên,

$$lim_ heta lớn 0 1 geq lim_ heta o lớn 0 fracsin heta heta geq lim_ heta o 0 cos heta$$

Ta tất cả,

$lim_ heta lớn 0 1 = 1$$lim_ heta o lớn 0 cos heta = cos 0 = 1$

Đã đến lúc thực hiện định lý số lượng giới hạn kẹp, bởi vì $lim_ heta khổng lồ 0 fracsin heta heta$ bị kẹp thân nhì giới hạn $lim_ heta khổng lồ 0 1$ cùng $lim_ heta lớn 0 cos heta$, nhưng mà chúng ta đang tính được hiệu quả ở 2 giới hạn kẹp cùng đa số bởi $1$, cho nên giới hạn trọng điểm chắc hẳn rằng cũng sẽ bởi $1$,

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *