+) Cho khoảng tầm (K) cất điểm (x_0) với hàm số (y = f(x)) xác minh trên (K) hoặc bên trên (Kackslash m x_0 m ).
(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈ Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0), ta tất cả (lim f(x_n) =L).
+) mang lại hàm số (y = f(x)) khẳng định trên khoảng tầm ((x_0; b)).
Bạn đang xem: Một số giới hạn đặc biệt
Bạn sẽ xem: các giới hạn quánh biệt(undersetx ightarrow x__0^+lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi dãy số ((xn) bất kì, (x_0 ,ta gồm (lim f(x_n) = L).
+) cho hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng ((a; x_0)).
(undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L) khi còn chỉ khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (a (lim f(x_n) = L).
+) mang đến hàm số (y = f(x)) xác minh trên khoảng tầm ((a; +∞)).
(undersetx ightarrow+infty lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n> a), (x_n ightarrow +infty) thì (lim f(x_n) = L).
+) mang đến hàm số (y = f(x)) xác định trên khoảng chừng ((-∞; a)).
(undersetx ightarrow-infty lim f(x) = L) khi và chỉ còn khi với dãy số ((x_n)) bất kì, (x_n a), (x_n ightarrow +infty) thì ta có (lim f(x_n) = -∞)
+) Cho khoảng (K) cất điểm (x_0) và hàm số (y = f(x)) xác định trên (K) hoặc trên (Kackslash m x_0 m ). (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = +∞) và chỉ còn khi với hàng số ((x_n)) bất kì, (x_n ∈Kackslash m x_0 m ) và (x_n ightarrow x_0) thì ta có (lim f(x_n) = +∞).
3. Xem thêm: Iconic Là Gì - Giải Nghĩa Và Tìm Hiểu Chi Tiết Về Câu Hỏi
a) (undersetx ightarrow x__0lim x = x_0);
b) (undersetx ightarrow x__0limc = c);
c) (undersetx ightarrow pm infty lim c = c);
d) (undersetx ightarrow pm infty lim) (fraccx = 0) ((c) là hằng số);
e) (undersetx ightarrow+infty lim x^k= +∞), với (k) nguyên dương;
f) (undersetx ightarrow-infty lim x^k= -∞), nếu (k) là số lẻ;
g) (undersetx ightarrow-infty limx^k = +∞) , trường hợp (k) là số chẵn.
4. Định lí về số lượng giới hạn hữu hạn
Định lí 1.
a) Nếu (undersetx ightarrow x__0lim = L) và (undersetx ightarrow x__0lim) (g(x) = M) thì:
(undersetx ightarrow x__0lim = L + M);
(undersetx ightarrow x__0lim = L.M);
(undersetx ightarrow x__0lim) (fracf(x)g(x))= (fracLM) (nếu (M ≠ 0)).
b) nếu như (f(x) ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L), thì (L ≥ 0) và (undersetx ightarrow x__0limsqrt f(x) = sqrt L)
Chú ý: Định lí 1 vẫn đúng vào khi (x_n ightarrow +infty) hoặc (x_n ightarrow -infty).
Định lí 2.
(undersetx ightarrow x__0lim f(x) = L) khi và chỉ khi (undersetx ightarrow x__0^+lim) f(x) = (undersetx ightarrow x__0^-lim f(x) = L).
5. luật lệ về số lượng giới hạn vô cực
a) Quy tắc giới hạn của tích (f(x).g(x))
+ nếu (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = pm infty ) cùng (mathop lim limits_x o x_0 gleft( x ight) = L e 0) thì (mathop lim limits_x o x_0 left) được đến trong bảng sau:
b) luật lệ tìm giới hạn của thương (dfracf(x)g(x))
+ nếu (mathop lim limits_x o x_0 fleft( x
ight) = L
e 0) và (mathop lim limits_x o x_0 gleft( x
ight) = 0) với (gleft( x
ight) > 0) hoặc (gleft( x
ight)
