Giải phương trình bằng phương pháp nhân liên hợp

Nhân liên hợp để giải phương trình, bất phương trình chứa căn là một vào những phương pháp hiệu quả để giải phương trình, lúc cơ mà bọn họ nhận thấy tức thì được một nghiệm đẹp của phương trình, bất phương trình đã đến.

Bạn đang xem: Nhân liên hợp là gì

1. Các bước giải phương trình, bất phương trình bằng nhân liên hợp

Ý tưởng của phương pháp nhân liên hợp là lúc một phương trình, bất phương trình chứa căn thức mà lại bao gồm nghiệm đẹp thì thường ta sẽ tra cứu cách so sánh thành nhân tử. Nhưng đối với một đa thức thì việc so với đa thức thành nhân tử sẽ dễ dàng hơn so với các biểu thức chứa căn, bởi vì đó họ sẽ tra cứu giải pháp khử căn thức bằng cách nhân phân chia với biểu thức liên hợp.

Nhắc lại, biểu thức liên hợp của $sqrtApmsqrtB$ là $sqrtAmpsqrtB$, tức là biến đổi:$$ sqrtApm sqrtB=fracA-BsqrtApmsqrtB $$ Biểu thức liên hợp của $sqrt<3>Apmsqrt<3>B$ là $(sqrt<3>A)^2pmsqrt<3>Asqrt<3>B+(sqrt<3>B)^2$ $$ sqrt<3>Apmsqrt<3>B=fracApm B(sqrt<3>A)^2pmsqrt<3>Asqrt<3>B+(sqrt<3>B)^2 $$

Bước 2. Phân tích (bóc tách hoặc thêm bớt những hạng tử yêu thích hợp), sau đó nhân chia với biểu thức liên hợp làm thế nào cho sau khi nhân phân chia liên hợp ta được tất cả biểu thức gồm chứa nhân tử $x – x_0$.

2. Ví dụ giải phương trình nhân liên hợp

Ví dụ 1. Giải phương trình $$ x^3 + 11 = 3sqrt x + 3 $$ Hướng dẫn. Chúng ta đân oán (hoặc sử dụng lệnh SOLVE của laptop CASIO) với nhận thấy phương trình bao gồm nghiệm $ x=2 $. Tức là, chắc chắn phương trình sẽ bác ái tử là $(x-2)$, nhưng bọn họ khó khăn so với biểu thức chứa căn thành nhân tử, đề nghị sẽ tra cứu bí quyết chuyển về đa thức rồi so với. Cụ thể, họ bóc $11=8+3$ rồi biến đổi như saueginalign*& x^3+8-3sqrtx+3+3=0 \Leftrightarrow &(x+2)(x^2+2x+4)-frac3(x+2)sqrtx+3+1=0\Leftrightarrow &(x+2)left(x^2+2x+4-frac3sqrtx+3+1 ight)=0\Leftrightarrow &left<eginarraylx+2=0\x^2+2x+4-frac3sqrtx+3+1=0 qquad (*)endarray ight.endalign* Ta gồm <eginarraylx^2 + 2x + 4 ge 3\– dfrac3sqrt x + 3 + 1 ge – 3\Rightarrow x^2 + 2x + 4 – dfrac3sqrt x + 3 + 1 ge 0.endarray> Bất phương trình cuối không xảy ra dấu đẳng thức yêu cầu phương trình (*) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho bao gồm nghiệm duy nhất $ x=2. $

Ví dụ 2. Giải phương trình $$sqrtx+1~+1=4x^2+sqrt3x $$ Hướng dẫn. Với điều kiện $ xge0 $ thì phương trình đã mang lại tương đương với eginalign*&4x^2-1+sqrt3x-sqrtx+1=0\Leftrightarrow và (2x+1)(2x-1)+frac2x-1sqrt3x+sqrtx+1=0\Leftrightarrow và (2x-1)left( 2x+1+frac1sqrt3x+sqrtx+1 ight)=0\Leftrightarrow & 2x-1=0\Leftrightarrow & x=frac12endalign* So sánh điều kiện được nghiệm của phương trình là $ x=frac12. $

Ví dụ 3. Giải phương trình $$sqrt<3>x^2-1+x=sqrtx^3-2$$ Hướng dẫn. Điều kiện $xge sqrt<3>2$. Đoán thù được nghiệm $ x=3 $ nên ta tách rồi nhân liên hợp như sau: eginalign*&sqrt<3>x^2 – 1 – 2 + x – 3 = sqrt x^3 – 2 – 5 \Leftrightarrow;& left( x – 3 ight)left< 1 + fracx + 3sqrt<3>left( x^2 – 1 ight)^2 + 2sqrt<3>x^2 – 1 + 4 ight> = fracleft( x – 3 ight)left( x^2 + 3x + 9 ight)sqrt x^3 – 2 + 5 \Leftrightarrow;và x = 3endalign* Ta bao gồm <eginarray*20c1 + dfracx + 3sqrt<3>left( x^2 – 1 ight)^2 + 2sqrt<3>x^2 – 1 + 4& = 1 + dfracx + 3left( sqrt<3>x^2 – 1 + 1 ight)^2 + 3\&{ endarray> cần phương trình đã cho gồm nghiệm duy nhất $ x=3. $

Nếu thấy bài bác viết hữu ích, bạn có thể ủng hộ chúng tôi bằng giải pháp bấm vào những banner quảng cáo hiển thị trên website. Xin cảm ơn!

Ví dụ 4. Giải phương trình $$ sqrt3x^2-5x+1-sqrtx^2-2=sqrt3(x^2-x-1)-sqrtx^2-3x+4 $$ Hướng dẫn. Nhận xét $left( 3x^2-5x+1 ight)-left( 3x^2-3x-3 ight)=-2(x-2)$ cùng $left( x^2-2 ight)-left( x^2-3x+4 ight)=3(x-2)$ phải ta biến đổi phương trình rồi nhân liên hợp như sau: eginalign*&sqrt3x^2-5x+1-sqrt3(x^2-x-1)=sqrtx^2-2-sqrtx^2-3x+4\Leftrightarrow;& frac-2(x-2)sqrt3x^2-5x+1+sqrt3(x^2-x-1)=frac3(x-2)sqrtx^2-2+sqrtx^2-3x+4\Leftrightarrow;& (x-2)left< frac3sqrtx^2-2+sqrtx^2-3x+4+frac2sqrt3x^2-5x+1+sqrt3(x^2-x-1) ight>=0endalign* Ta có $ dfrac3sqrtx^2-2+sqrtx^2-3x+4+dfrac2sqrt3x^2-5x+1+sqrt3(x^2-x-1)>0 $ đề xuất phương trình đã mang lại có nghiệm duy nhất $ x=2. $

Ví dụ 5. Giải phương trình $$ sqrtx^2+15=3x-2 +sqrtx^2+8 $$ Hướng dẫn. Nhẩm được nghiệm $ x=1 $ bắt buộc ta tách rồi nhân liên hợp như sau eginalign&sqrtx^2+15-4=3x-3+sqrtx^2+8-3 otag\Leftrightarrow &fracx^2+15-16sqrtx^2+15+4=3(x-1)+fracx^2+8-9sqrtx^2+8+3 otag\Leftrightarrow &fracx^2-1sqrtx^2+15+4=3(x-1)+fracx^2-1sqrtx^2+8+3 ,,,(*)endalign Xét hai trường hợp:

$ x=1 $ thỏa mãn phương trình bắt buộc là nghiệm.$ x e 1 $ thì phương trình $$ (*)Leftrightarrowfracx+1sqrtx^2+15+4=fracx+1sqrtx^2+8+3+3$$ Vì $ sqrtx^2+15>sqrtx^2+8 $ cần từ phương trình đã mang lại, bọn họ suy raeginalign* &3x-2=sqrtx^2+15-sqrtx^2+8\Leftrightarrow ;& 3x-2>0 Leftrightarrow x>frac23endalign* Suy ra $ x+1>0 $ cùng như vậy $ fracx+1sqrtx^2+8+3+3>fracx+1sqrtx^2+15 $ hay phương trình $(*)$ vô nghiệm.

Vậy phương trình đã đến có nghiệm duy nhất $ x=1. $

Ví dụ 6. Giải phương trình< sqrt3x+1-sqrt6-x+3x^2-14x-8=0 > Hướng dẫn. Điều kiện $ -frac13le xle 6. $ Đoán thù được nghiệm $ x=5 $ phải ta bóc phương trình đã cho thành:< (sqrt3x+1-4)-(sqrt6-x-1)+3x^2-14x-8=0 > Sau đó nhân phân chia với biểu thức liên hợp, được:eginalign*&frac3(x-5)sqrt3x+1+4-frac5-xsqrt6-x+1+(x-5)(3x+1)=0\Leftrightarrow;& (x-5)left(frac3sqrt3x+1+4+frac1sqrt6-x+1+3x+1 ight)=0endalign* Vì $ -frac13le xle 6 $ yêu cầu $$ dfrac3sqrt3x+1+4+dfrac1sqrt6-x+1+3x+1>0,$$ vì chưng đó phương trình đã mang lại gồm nghiệm duy nhất $ x=5. $

Đôi Khi, sau khoản thời gian nhân phân chia liên hợp, việc chứng minh phương trình còn lại vô nghiệm khá nặng nề khăn, ta hãy xem ví dụ sau.

Ví dụ 7. Giải phương trình < (x+3)sqrtx+4+(x+9)sqrtx+11=x^2+9x+10 > Hướng dẫn. Điều kiện $ xge -4 $. Dễ dàng đân oán được nghiệm $ x=5 $, đề nghị ta tách thành: < (x+3)left(sqrtx+4-3 ight)+(x+9)left(sqrtx+11-4 ight)=x^2+2x-35 > Sau đó, nhân liên hợp được: eginalign*&(x+3)cdotfracx-5sqrtx+4+3+(x+9)cdotfracx-5sqrtx+11+4=(x-5)(x+7)\Leftrightarrow;và (x-5)left(fracx+3sqrtx+4+3+fracx+9sqrtx+11+4-x-7 ight)=0endalign* Ta sẽ chứng minch phương trình sau vô nghiệm: $$fracx+3sqrtx+4+3+fracx+9sqrtx+11+4-x-7=0,,(*)$$ Vì điều kiện là $ xge -4 $ với chăm chú rằng những phân thức $ frac1sqrtx+4+3 $ với $ frac1sqrtx+11+4 $ đều có giá trị nhỏ hơn $ frac12, $ đề xuất ta bóc như sau:eginalign*VT(*)&= fracx+4sqrtx+4+3-fracx+42+fracx+9sqrtx+11+4-fracx+92-frac12-frac1sqrtx+4+3\&=(x+4)left(frac1sqrtx+4+3-frac12 ight)+(x+9)left(frac1sqrtx+11+4-frac12 ight)-frac12-frac1sqrtx+4+3\&endalign* Suy ra phương trình đã đến tất cả nghiệm duy nhất $ x=5. $

Ví dụ 8. Giải phương trình $$ sqrtx^2+8-sqrtx^2+3=2x-1 $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=1 $ cần ta bóc PT đã mang đến thành < left(sqrtx^2+8-3 ight)-left(sqrtx^2+3-2 ight)-2(x-1)=0 > Sử dụng phương pháp nhân liên hợp được < (x-1)left((x+1)left(frac1sqrtx^2+8+3-frac1sqrtx^2+3+2 ight)-2 ight)=0 > Nhận xét rằng $ sqrtx^2+8+3>sqrtx^2+3+2 $ phải $$ frac1sqrtx^2+8+3-frac1sqrtx^2+3+20 Leftrightarrow x>frac12 Leftrightarrow x+1>frac32 . $ Do đó, $$ (x+1)left(frac1sqrtx^2+8+3-frac1sqrtx^2+3+2 ight)Ví dụ 9. Giải phương trình $$ sqrtx^2+5+sqrtx^2+12-sqrtx^2-3=18-6x $$ Hướng dẫn. Đoán được nghiệm $ x=2 $ cùng sử dụng phương pháp nhân phân chia với lượng liên hiệp.

Ví dụ 10. Giải phương trình $$left( sqrtx-1+sqrtx+2 ight)left( sqrtx^2+x-2-1 ight)=3$$ Hướng dẫn. Điều kiện xác định của phương trình là $xge 1$. Với diều kiện đó, ta có: $(x+2)-(x-1)=3>0$ nên $sqrtx+2-sqrtx-1>0$ với $xge 1$. Nhân nhị vế của phương trình với $sqrtx+2-sqrtx-1$ ta được eginalign*&igg( (x+2)-(x-1) igg)left( sqrtx^2+x-2-1 ight)=3left( sqrtx+2-sqrtx-1 ight)\Leftrightarrow;và sqrtx^2+x-2-1=sqrtx+2-sqrtx-1\Leftrightarrow;& left{ eginarraylsqrtx^2+x-2ge 1 \left( sqrtx^2+x-2-1 ight)^2=left( sqrtx+2-sqrtx-1 ight)^2 \endarray ight.\Leftrightarrow;và left{ eginarraylx^2+x-3ge 0\x^2+x-1-2sqrtx^2+x-2=x+2+x-1-2sqrtx+2.sqrtx-1 \endarray ight.\Leftrightarrow;và left{ eginarraylx^2+x-3ge 0 \x^2-x-2=0 \endarray ight.Leftrightarrow left{ eginarraylx^2+x-3ge 0 \x=-1vee x=2 \endarray ight.Leftrightarrow x=-1vee x=2.endalign* Vậy nghiệm của phương trình là $ x=-1,x=2. $

Ví dụ 11. Giải bất phương trình $$ left( sqrtx+3-sqrtx-1 ight)left( 1+sqrtx^2+2 extx-3 ight)ge 4 $$ Hướng dẫn. Điều kiện $ xge 1, $ nhân liên hợp mang lại vế trái thì bất phương trình đã mang đến tương đương với eginalign*& 4left( 1+sqrtx^2+2x-3 ight)ge 4left( sqrtx+3+sqrtx-1 ight)\Leftrightarrow & 1+sqrtx^2+2x-3ge sqrtx+3+sqrtx-1\Leftrightarrow và x^2+2x-2+2sqrtx^2+2x-3ge 2x+2+2sqrtx^2+2x-3\Leftrightarrow & x^2-4ge 0\Leftrightarrow & left< eginarraylxle -2 \ xge 2 \ endarray ight.endalign* Kết hợp với điều kiện $xge 1$ ta được tập nghiệm của bất phương trình là $S=<2,+infty)$.

Nhận xét. Bất phương trình này trọn vẹn bao gồm thể giải được bằng phương pháp đặt ẩn phụ. Xin mời bạn thử!

Ví dụ 12.

Xem thêm: Từ Điển Tiếng Việt " Dung Dịch Bão Hòa Là Gì ? Dung Dịch Bão Hòa Và Độ Tan

Giải bất phương trình $$2x+5>sqrt2-xleft(sqrtx-1+sqrt3x+4 ight)$$ Hướng dẫn. Điều kiện $ 1le xle 2. $ Chúng ta gồm $$ 2x+5=3x+4-(x-1)=left(sqrtx-1+sqrt3x+4 ight)left(sqrt3x+4-sqrtx-1 ight) $$ đề xuất bất phương trình đã cho tương đương với tương đương với eginalign*& left(sqrtx-1+sqrt3x+4 ight)left(sqrt3x+4-sqrtx-1 ight)>sqrt2-xleft(sqrtx-1+sqrt3x+4 ight)\Leftrightarrow và sqrt3x+4-sqrtx-1>sqrt2-x extquad (vị $ sqrtx-1+sqrt3x+4>0 $)endalign* Giải bất phương trình này, kết hợp điều kiện được tập nghiệm của bất phương trình đã cho rằng $ S=<1;2> $

Ví dụ 13. Giải phương trình $$sqrt2x^2+x+9+sqrt2x^2-x+1=x+4$$ Hướng dẫn. Nhận xét rằng $$left( 2x^2+x+9 ight)-left( 2x^2-x+1 ight)=2left( x+4 ight)$$ Vì $ x=4 $ ko là nghiệm đề nghị ta xét $ x e 4 $ và nhân phân tách liên hiệp để trục căn thức được $$frac2x+8sqrt2x^2+x+9-sqrt2x^2-x+1=x+4Rightarrow sqrt2x^2+x+9-sqrt2x^2-x+1=2$$ Thu được hệ phương trình < left{ eginarraylsqrt 2x^2 + x + 9 – sqrt 2x^2 – x + 1 = 2\sqrt 2x^2 + x + 9 + sqrt 2x^2 – x + 1 = x + 4endarray ight. Rightarrow 2sqrt 2x^2 + x + 9 = x + 6 Leftrightarrow left< eginarraylx = 0\x = frac87endarray ight. > Thử lại thấy thỏa mãn, vậy phương trình bao gồm nghiệm $ x=0 $ và $ x = frac87. $

3. Bài tập phương pháp nhân liên hợp giải phương trình, bất phương trình

Đối với những bải tập sau, ta gồm thể sử dụng phương pháp nhân phân tách với biểu thức liên hợp để giải quyết.

Bài 1. Giải phương trình $ sqrt2x-3-sqrtx=2x-6 $

Đáp số. $ x=3 $

Bài 2. Giải phương trình $ sqrt4x^2 +5x+1-2sqrtx^2 -x+1=9x-3 $

Đáp số. $ x=frac13. $

Bài 3. Giải phương trình $ sqrt10x+1+sqrt3x-5=sqrt9x+4+sqrt2x-2 $

Hướng dẫn. Nhóm thành $ left(sqrt10x+1-sqrt9x+4 ight)+left(sqrt3x-5-sqrt2x-2 ight)=0, $ rồi nhân liên hợp…Đáp số. $ x=3 $

Bài 4. Giải phương trình $ sqrtx-2+sqrt4-x=2x^2-5x-1 $

Hướng dẫn. Tách thành $ left(sqrtx-2-1 ight) +left(sqrt4-x-1 ight)-left(2x^2-5x-3 ight)=0. $ Sau đó nhân liên hợp xuất hiện nhân tử $ x-3, $ xét hàm mang đến nhân tử còn lại…Đáp số. $ x=3 $

Bài 5. Giải phương trình $2sqrtleft( 2-x ight)left( 5-x ight)=x+sqrtleft( 2-x ight)left( 10-x ight)$

Đáp số. $ x=1,x=frac15+5sqrt5 2 $

Bài 6. Giải phương trình $sqrt<3>x^2+4=sqrtx-1+2x-3$

Đáp số. $ x=2 $

Bài 7. Giải phương trình $sqrt<3>x^2-1+sqrt3x^3-2=3x-2$

Bài 8. <Đề thi Olympic 30-4 năm 2007> Giải phương trình $2x^2-11x+21-3sqrt<3>4x-4=0$

Bài 9. Giải phương trình $sqrt2x^2+16x+18+sqrtx^2-1=2x+4$

Bài 10. Giải phương trình $x^2+3x+1=left( x+3 ight)sqrtx^2+1$

Bài 11. Giải phương trình $1+sqrtx=4x^2+sqrt3x-1$

Đáp số. $x=frac12$

Bài 12. Giải phương trình $ sqrtx=1-sqrt<3>3x^2+x-1+sqrt<3>2x+1 $

Đáp số. $ x=1 $

Bài 13. Giải phương trình $ 2sqrt x^2 + 5 = 2sqrt x – 1 + x^2 $

Hướng dẫn. Biến đổi thành $$2sqrtx^2+5-6=2sqrtx-1-2+x^2-4Leftrightarrow 2fracx^2-4sqrtx^2+5+3=2fracx-2sqrtx-1+1+(x-2)(x+2)$$ Tìm được $ x=2 $ hoặc $$ frac2(x+2)sqrtx^2+5+3=frac2sqrtx-1+1+x+2Leftrightarrow frac2sqrt x – 1 + 1 + left( x + 2 ight)left( 1 – frac2sqrt x^2 + 5 + 3 ight) = 0 $$ Phương trình cuối này vô nghiệm.

Bài 14. Giải phương trình $ sqrtx^2+12+5=3x+sqrtx^2+5 $

Hướng dẫn. Để phương trình gồm nghiệm thì: $sqrtx^2+12-sqrtx^2+5=3x-5ge 0Leftrightarrow xge frac53$. Biến đổi phương trình thành eginalign*và sqrtx^2+12-4=3x-6+sqrtx^2+5-3Leftrightarrow fracx^2-4sqrtx^2+12+4=3left( x-2 ight)+fracx^2-4sqrtx^2+5+3 \và Leftrightarrow left( x-2 ight)left( fracx+2sqrtx^2+12+4-fracx+1sqrtx^2+5+3-3 ight)=0Leftrightarrow x=2endalign* Chứng minh được $fracx+2sqrtx^2+12+4-fracx+2sqrtx^2+5+3-3frac53$.Đáp số. $ x=2 $

Bài 15. Giải bất phương trình $frac1-sqrt1-4x^2xPost Views: 27,569

Bài viết liên quan

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *