Nơi tổng hợp và chia sẻ những kiến thức liên quan tới giải thuật nói chung và lý thuyết khoa học máy tính nói riêng.

Bạn đang xem: Quy hoạch động là gì


Ở bài trước chúng ta đã giới thiệu về quay lui và xem xét một vài ví dụ về quay lui, trong đó có bài toán Subset Sum. Giải thuật quay lui chúng ta thảo luận ở bài trước cho bài toán này có thời gian cỡ $O(2^n)$, bất kể giá trị của tổng $T$. Với $n = 30$, thuật toán quay lui chạy khá chậm. Ở bài này chúng ta sẽ thiết kế thuật toán với thời gian $O(n^2T)$ và do đó, nếu $T$ không quá lớn, chúng ta có thể giải bài toán này khá nhanh trong thực tế với thời gian $O(nT)$.

Quy hoạch động là một kĩ thuật thiết kế thuật toán theo kiểu chia bài toán lớn thành các bài toán con, sử dụng lời giải của các bài toán con để tìm lời giải cho bài toán ban đầu. Khác với chia để trị, quy hoạc động, thay vì gọi đệ quy, sẽ tìm lời giải của các bài toán con và lưu vào bộ nhớ (thường là một mảng), và sau đó lấy lời giải của bài toán con ở trong mảng đã tính trước để giải bài toán lớn. Việc lưu lại lời giải vào bộ nhớ khiến cho ta không phải tính lại lời giải của các bài toán con mỗi khi cần, do đó, tiết kiệm được thời gian tính toán. Trước hết hãy xem xét một vài ví dụ minh họa.

Dãy số Fibonacci

Bài toán dãy số Fibonacci như sau:


Problem 1: Tính $F_n$ biết $F_n$ thỏa mãn biểu thưc sau:

$F_n = F_{n-1} + F_{n-2} \qquad F_0 = 0, F_1 = 1$


Dựa vào định nghĩa của dãy số Fibonacci, ta có thủ tục đệ quy sau để tính $F_n$:


RecFib($n$): if
$n$ else return RecFib$(n-1)$ + RecFib$(n-2)$

Số phép cộng phải thực hiện của thủ tục đệ quy trên để tính $F_n$ là:


$T(n) = T(n-1) + T(n-2) + 1 = \Theta(\phi^n) \qquad \phi = (\sqrt{5} + 1)/2 \simeq 1.618$


Như vậy thời gian tính là hàm số mũ. Một câu hỏi là liệu chúng ta có thể tính nhanh hơn đệ quy được không. Trước hết chúng ta hãy nhìn vào cây đệ quy (có nhắc đến ở đây) của thuật toán. Mỗi nút của cây là giá trị $F_n$ và nút con là các giá trị cần thiết tương ứng với hàm đệ quy của $F_n$. Các nút lá là $F_0$ hoặc $F_1$. Ví dụ cây đệ quy để tính $F_5$:

*
Như vậy nhìn vào cây ta thấy để tính $F_5$, thủ tục đệ quy sẽ tính lại $F_2$ 3 lần và $F_3$ 2 lần. Nguyên nhân có tính toán lặp đi lặp lại như vậy là vì sau khi tính $F_2$ bằng hàm RecFib$(2)$, thuật toán không lưu lại giá trị đã tính.

Cải tiến 1 (memorization): lưu lại những gì đã tính. Theo nhận xét ở trên, ta có thể cải tiến thuật toán như sau: ta dùng môt mảng $F<1,2,\ldots,n>$ để lưu lại giá trị đã tính, i.e, $F = F_i$. Khi goị đệ quy, nếu $F_i$ đã được tính trước đó rồi ($F$ đã xác định), ta chỉ việc trả lại $F$. Giả mã như sau:


MemFib($n$): if $ n$ else if $F$ is undefined $F \leftarrow $ MemFib$(n-1)$ + MemFib$(n-2)$ return $F$

Code của giả mã bằng C. Code đầy đủ được cho ở cuối bài:

int memorized_fib(int n){if(n Ở đây có thể thấy số phép cộng phải thực hiện để tính $F_n$ chính bằng số phép cộng phải thực hiện để cập nhật mảng $F<1,2,\ldots,n>$. Mỗi lần cập nhật một phần tử của mảng sử dụng 1 phép cộng. Như vậy số phép cộng của thuật toán là $O(n)$ (nhanh hơn gấp lũy thừa lần thuật toán đệ quy!!!!).

Cải tiến 2: quy hoạch động.

Xem thêm: Giới Thiệu Intent Trong Android Là Gì, Hướng Dẫn Sử Dụng Intent Trong Android

Như vậy ý tưởng chính của cải tiến 1 là lưu lại những giá trị đã tính vào một mảng và thời gian tính được quy về thời gian cần thiết để cập nhật mảng $F<1,2,\ldots,n>$. Một câu hỏi ngay lập tức sẽ là liệu có cần thiết phải dùng đệ quy để cập nhật mảng hay không? Câu trả lời là không, ta có thể cập nhật mảng bằng cách lặp. Đó cũng là tư tưởng chính của quy hoạch động. Thay vì dùng đệ quy có nhớ, dùng vòng lặp để cập nhật lời giải các bài toán con và lưu vào bộ nhớ (một mảng). Giải thuật quy hoạch động tính $F_n$ có giả mã như sau:


DynamicFib($n$): $F<0> \leftarrow 0; F<1> \leftarrow 1$ for $i \leftarrow 2$ to $n$ $F \leftarrow F + F$ return $F$

Dễ thấy thuật toán thực hiện $O(n)$ phép cộng để tính $F_n$.

Cải tiến 3: tiết kiệm bộ nhớ. Nhìn vào định nghĩa ta thấy $F_n$ chỉ phụ thuộc vào $F_{n-1}$ và $F_{n-2}$, chính vì thế ở mỗi bước lặp, chúng ta chỉ cần lưu lại hai giá trị này là đủ. Giả mã như sau:


SaveMemFib($n$): $prev \leftarrow 0$ $curr \leftarrow 1$ for $i \leftarrow 2$ to $n$ $next \leftarrow prev + curr$ $prev \leftarrow curr$ $curr \leftarrow next$ return $curr$

Code thực hiện bằng C:

int save_mem_fib(int n){int prev = 0;int curr = 1;int next;int i = 0;for(i = 2; i Dễ thấy số phép cộng cần thiết để thực hiện tính $F_n$ là $O(n)$.

Cải tiến 4: fast integer multiplication. Cải tiến này dựa trên công thức sau:

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \times \left< \begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right> = \left< \begin{array}{c} y \\ x+y \end{array} \right> $

Như vậy nhân một vector với ma trận

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}$

tương đương với một vòng lặp trong thủ tục SaveMemFib. Bằng quy nạp, không khó để chứng minh rằng:

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^{n-1} \times \left< \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right> = \left< \begin{array}{c} F_{n-1} \\ F_n \end{array} \right> $

Ta có thể tính nhanh ma trận:

$\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}^n$

sử dụng $O(\log n)$ phép cộng và nhân bằng thuật toán ở đây, và sử dụng thuật toán nhân 2 số nguyên $n$ bít nhanh ở đây với thời gian $O(n^{1.585})$. Như vậy có thể giảm thời gian thuật toán xuống còn $O(n^{1.585}\log n)$. Nếu sử dụng thuật toán nhân hai số nguyên $n$ bit nhanh nhất, (có nói đến ở đây), ta có thể giảm được thời gian hơn nữa (cỡ $O(n\log^3 n)$).Code: Fibonacci

Tham khảo

Bài viết chủ yếu dựa trên notes của Jef Erickson. Note này khá tốt để tham khảo. Các bạn sẽ học được rất nhiều từ bản gốc hơn là bài viết này.<1> Jeff Erickson, Dynamic Programming Lecture Notes , UIUC.

Bài viết liên quan

Nhưng dường nhừ từ quy hoạch động (dynamic programming) không nói lên bản chất của thuật toán và thực tế là như vậy. Lịch sử của từ dynamic programming bắt đầu từ Richard Bellman. Bellman phát triển nền tảng toán học (của quy hoạch động) nhưng ông muốn chọn một thuật ngữ cho nền tảng đó không liên quan gì đến toán vì cấp trên của ông không thích những gì liên quan đến toán. Do đó ông chọn thuật ngữ dynamic programming. Từ programming không có nghĩa là lập trình, mà mang nghĩa hơi liên quan đến đặt kết hoạch hay lập lịch bằng cách điền vào bảng. Còn từ dynamic muốn nhấn mạnh việc bảng đó được điền qua thời gian chứ không phải điền một lần. Bản thân mình thích thuật ngữ khử đệ quy có nhớ hơn.

Trả lời

Email của bạn sẽ không được hiển thị công khai. Các trường bắt buộc được đánh dấu *